跟名侦探学习推理—回溯推理与贝氏定理分析(下)

  • 本文亦同步刊载於林泽民的部落格,原文标题为〈回溯推论法、贝氏定理、及推理小说〉

编按:回溯推理(或称溯因推理)是从「证据推理到最佳解释」的反覆过程。福尔摩斯的名言:「当你把一切不可能的情况都排除之後,那剩下的,不管多麽离奇,也必然是事实。」正点出了「回溯推理」的精随,以及背後涉及的「贝氏定理」。

本文分为上下篇,上篇将带领读者熟悉回溯推理的基本概念,下篇则会运用贝氏定理分析,一窥侦探脑内的判断机制。

福尔摩斯在《皮肤变白的军人》案中的推理过程

道尔的福尔摩斯故事中,福尔摩斯都用了这种方法破案。其中把这方法的应用说得最清楚的,莫过於《皮肤变白的军人》。这个故事写於 1926 年,是道尔晚年的作品。一般读者对它印象可能不深,但它有一个特色:它是所有福尔摩斯小说中唯二华生未亲自出现的一篇。所以,小说中推理方法的描述,是由福尔摩斯本人娓娓道来的。

故事中来向福尔摩斯求助的客户是退伍军人,他因与昔日同袍好友失联,心中不安。写信给好友父亲,父亲说好友周游世界去了,一年之内不会回来。但客户不相信好友出游会不告知他,非常疑惑。於是转而写信给好友母亲,详述军中友情,欲前往拜访。好友母亲热情欢迎,他遂前往,并蒙留宿。

但好友父亲仍然冷漠相待,只重复好友出国周游的说法。当晚,夜深时,他彷佛看到好友隔着落地窗户从室外看他,脸色惨白,有如鬼魂。他急忙追出,其身影已经消失在黑暗中。第二天,他厚颜要求再宿一宵,乘机观察附近环境,发现园子尽头有一栋房屋,有人看守,颇为神秘。他疑心好友被幽禁在此,但他的窥伺行动被好友父亲发现,对他下了逐客令。他只好来求福尔摩斯相助追查真相。

福尔摩斯在揭发真相後,如此跟主人解释他的推理过程:

「我的方法,」我说道,「就建立在这样一种假设上面:当你把一切不可能的结论都排除之後,那剩下的,不管多麽离奇,也必然是事实。也可能剩下的是几种解释,如果这样,那就要一而再、再而三地加以证实,直到最後只剩下一种具有足够根据来支持的解释。现在我们就用这个方法来研究一下当前这个案子。起初,提到我面前的有三种可能的解释,可以说明为什麽这位先生在他父亲庄园的小屋里被隔离或禁锢起来。可以认为他是由於犯罪而逃避,或者是由於精神失常而不愿住疯人院,最後是因为有某种疾病而需要隔离。我想不出其它解释。那麽,就需要把这几个结论加以对比和甄别。

犯罪之说是不能成立的。本地区并没有尚未破案的犯罪报告,这我十分清楚。如果说是尚未暴露出来的犯罪,那从家族利益来说应该是把他弄走或是送出国外,而不是藏在家里。我看不出这条思路有什麽可能成立的地方。

精神失常的可能性要更大一些。小屋里有的第二个人可能是看守人。他走出来以後把门倒锁上,这就加强了上述假设,说明可能是强行禁闭。但另一方面,强制不可能是很严的,否则这个青年就不会跑出来去看一眼他的朋友了。多德先生,你记得我曾探索论据,比如问你肯特先生读的是什麽报纸。如果是《柳叶刀》或《英国医学杂志》,那会帮助我思索。但是,只要有医生陪同并上报当局,把疯人留在家里是合法的事。为什麽这样拚命保密呢?因此精神失常的设想也不能成立。

剩下的第三个可能,看来虽然稀奇,却是完全符合实际情况的。麻疯在南非是常见病。由於特殊的机遇,这位青年可能受到感染。这样一来,他的家属处境就十分困难了,因为他们不愿把他交给麻疯隔离病院。为了不露风声、不受当局干涉,必须严守秘密。如果给以适当报酬,不难找到一位忠实的医生来照顾病人。也没有理由在晚上不让病人出来。肤色变白是这种病的普通症状。这个假设的论据是十分充足的,以致使我决心把它当做已被证实了那样来行动。当我初到这里,发现给小屋送饭的拉尔夫戴着浸了消毒水的手套,这时候我连最後的疑点也消除了。先生,我只写了一个词,就告诉你秘密已被发现了,我之所以写而没有说出来,是为了向你证明可以信任我的谨慎。

贝氏回溯推理者福尔摩斯

福尔摩斯因客户的叙述而提出三个可能的假设,这固然是回溯推论法,但他排除其中两个而达到一个确定的结论,其方法却不脱演绎法。这是因为「以否定後项来否定前项」其实是具有绝对确定性的演绎逻辑:

  • 前提1:若 A2 则 B2 及 B
  • 前提2:¬B2
  • —————————-
  • 结论:¬A2
  • 前提1:若 A3 则 B3 及 B
  • 前提2:¬B3
  • —————————-
  • 结论:¬A3

如果福尔摩斯能确定他提的三个理论是互斥而且穷尽所有可能性的(mutually exclusive and exhaustive),则他所谓「当你把一切不可能的结论都排除之後,那剩下的,不管多麽离奇,也必然是事实」可以示意如下:

  • 前提1:若 ¬A2 及 ¬A3 则 A1
  • 前提2:¬A2 及 ¬A3
  • —————————-
  • 结论:A1

这样的推论没有任何不确定性,当然是十足的演绎法。也许这是道尔把福尔摩斯的方法称为「演绎的科学」的原因吧?

但是这种演绎法成立的条件,除了理论必须互斥而且穷尽所有可能性之外,还得他的前提特别是对 B2、B3(或 ¬B2、¬B3)的监识都是百分之百确定的。如果其中有任何不确定性,例如疑犯自白、证人证词、甚至科学监识的可信度不足,则使用「以否定後项来否定前项」的逻辑也就无法达到 p=1 的结论了。

《皮肤变白的军人》案中,福尔摩斯亟想知道小屋看守人是否在读《柳叶刀》等医学刊物,但客户没去注意这些细节,随口答了比较像《观察家》。这种「证词」能有多少确定性?如何足以让福尔摩斯百分之百否定精神失常的假说?而且难道麻疯病患者的看守人就不会读《柳叶刀》吗?当 0<p<1 时,我们就又回到回溯推论法了。此时因为不止一个理论无法完全排除,必须仰赖贝氏定理来算各理论的後验机率。

贝氏定理的计算必须要假设先验机率,其值由福尔摩斯依客户的叙述及他自己的专业知识可以主观判断。

以下的例子假设犯罪逃亡(理论1)、精神失常(理论2)、传染疾病(理论3)三个理论的先验机率分别为Pr(1)=0.2、Pr(2)=0.3、Pr(3)=0.5。

福尔摩斯到现场调查之後,依监识结果判定资料支持各理论的程度。这是假设理论为真时,观察到所得资料的条件机率。这里依据故事中福尔摩斯自己的分析假设了下列条件机率,其中「+」代表调查所发现的资料与理论相符,「-」代表调查所发现的资料与理论不符:

  • 调查结果与犯罪逃亡的理论完全不符,Pr(+|1)=0.0,Pr(-|1)=1.0。
  • 调查结果与精神失常的理论不尽相符,Pr(+|2)=0.5,Pr(-|2)=0.5。
  • 调查结果与传染疾病的理论大致相符,Pr(+|3)=0.9,Pr(-|3)=0.1。

这些调查结果可以让福尔摩斯用贝氏定理来更新他的先验机率,其结果就是所谓後验机率,也就是回溯推论法结论的确定性。计算的结果显示:如福尔摩斯所说,犯罪逃亡的理论的确是不能成立的(Pr(1|+)=0),但其它两个理论都不能完全排除。经过调查之後,资料证据稍微减少了精神失常的可能性(Pr(2|+)=0.25),但大大加强了传染疾病的可能性(Pr(3|+)=0.75)。见表一。这结果虽然无法保证每案必破,却比较合乎现实情况。

贝氏定理的计算,请参考我的文章:〈会算「贝氏定理」的人生是彩色的!该如何利用它让判断更准确、生活更美好呢?〉

从这个例子可以看出:不论先验机率如何,只要资料与理论完全不符(即条件机率为零),该理论就可以完全排除。如果资料不只与犯罪逃亡的理论不符,也与精神失常的理论不符,那剩下的当然就只有传染疾病的理论了。

这就是「当你把一切不可能的结论都排除之後,那剩下的,不管多麽离奇,也必然是事实」。

这个结论虽然在特殊的条件下用演绎法就可推出,但它其实是回溯推论法的一个特例,用贝氏定理也可算出,只是不需要那麽麻烦而已。见表二。当监识资料与理论的符合程度不是那麽确定时,光靠演绎法就行不通的,还是要仰赖回溯推论法及贝氏定理!

诺伯里!

太过於相信自己的判断曾经给福尔摩斯带来失败的教训。在另一个与《皮肤变白的军人》有点类似的疑案《黄面人》中,从伦敦西南诺伯里(Norbury)区专程来求助的客户怀疑自己的婚姻出了可怕的问题。他有次经过住家附近的一栋空屋,发现空屋的一扇窗户里有一张诡异的面孔也正在看着他:

我背上似乎冒出了冷汗。我站得稍微远了一点,所以看不清面貌如何。不过这张面孔有点不自然而且不像人脸。这就是我那时的印象。我便急忙走向前去,以便把窥视我的那个人看得更清楚些。但我走近以後,那张面孔突然不见了,彷佛突然被拉到室内的暗处。我站了足有五分钟,仔细考虑这件事,打算把我得到的印象分析一下。我很难说明这究竟是一张男人的面孔,还是女人的,它离我太远了。可是这张面孔的颜色给我留下的印象却是很深的。它就像青灰色的白垩土一样,而且有点僵硬呆板,不自然得吓人。

客户心中不安,可是接下来发生的事更令他焦急:他发现他的美国妻子进出这栋空屋,行为异常,却坚决不肯透露实情,只请求他相信她的爱情和苦衷。可是客户忍不住了,来请福尔摩斯协助。

听过客户叙述案情之後,福尔摩斯在华生催问下,提出了他的唯一一个理论:客户妻子的前夫住在空屋里。华生难得地不以为然,说那完全是臆测,但福尔摩斯说:

「可是它至少符合所有的事实。假使再发现了不相符合的新情况,我们重新考虑也还来得及的。」

可是福尔摩斯和华生搭火车到达当地之後,在月台等待的客户「面色苍白,忧心忡忡,浑身颤抖」已经忍无可忍了,要求两人为证,直接闯入空屋。这才发现黄面人是妻子与美国具非洲血统的前夫所生的小女孩。

前夫虽然肤色不黑,小女孩却黝黑得多,妻子怕邻居的流言蜚语,给女孩戴上黄色的面具,让她至少可以在窗户後面窥视户外景物。客户谅解妻子的苦衷,抱着小孩与妻子携手回家。

福尔摩斯不发一言回到伦敦,直到夜晚,才对华生说:

「如果以後你觉得我过於自信我的能力,或在办一件案子时下的功夫不够,请你最好在我耳旁轻轻说一声『诺伯里』,那我一定会感激不尽的。」

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