- 作者／ 苏宇瑞
- 原文作者／ Francis Su
- 译者／ 毕馨云
存在於数学中的第四个自由，是想像的自由。
如果探索是在寻找已经存在的东西，那麽想像就是在建构新的想法，或至少对你来说是新的想法。凡是在沙滩上堆过沙堡的孩子，都知道一桶沙子的无限潜力，同样的，康托也曾说过：「数学的本质就在於它的自由。」[3]（康托在19世纪後期做出开创性的研究成果，让我们首度对无限的本质有了清楚的了解。）
他的意思是，数学不像科学，研究的主题未必和特定的实物有关，因此数学家在能够研究的题材上，不像其他科学家那样受限。数学探险家可以运用她的想像，砌出她心目中的任何一座数学城堡。
拓扑学带领我们进入想像的空间
我的拓扑学课传授了想像的实践。正如前面提到的，拓扑学在研究几何物件受到连续拉伸时会保持不变的性质。
如果我让一个物件变形，且没有引进或移走「洞」，那麽从拓扑学的角度，我并没有改变它。因此，橄榄球和篮球在拓扑学上是相同的，因为其中一个形状可以变形成另一个；另一方面，甜甜圈和橄榄球在拓扑学上就是不一样的，因为你必须在橄榄球上戳一个洞，才可以把它变成甜甜圈。
拓扑学是很有趣的主题，因为我们可以用奇奇怪怪的方式把东西切割开、黏起来或拉伸，来做出各种很妙的形状。我们常想像在这些形状里面走动，所以称它们为空间。
拓扑学爱好者非常乐在想像他们自己的怪异空间，通常是为了回答某个奇特的问题，例如「是否存在具有这种或那种病态的物件？」。（对，我们在数学上会用到病态一词，是在描述奇怪或异常的表现，就像在医学中一样。）然後会用脑袋联想出一个例子。
举例来说，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地图上绘出，且边界完全相同的三个相连区域（「湖」）；位於其中一座湖的边上的任何一点，一定会在所有三座湖的边上。这个建构是以发明它们的数学家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。还有夏威夷耳环（Hawaiian earring），这是个华丽的物件，上头有无限多个逐次变小的环，全相切於一个点。[4]
亚历山大角球的病态空间
病态空间（pathological space）有个相当着名的例子（至少在数学家当中很有名），就是亚历山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形状的曲面，正圆球表面的空间具有「单连通」（simply connected）这个性质，意思大致上就是，如果你在球的表面拿着一条绳子，把两端系在一起，做成一个圈，那麽所系成的圈不会卡在球上，永远可以从球上移走，与球分离。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空间不是单连通的：如果把绳子的一端穿过甜甜圈中心的洞，再把两端系在一起，你就无法让绳圈脱离甜甜圈。）
1924年，J. W. 亚历山大（J. W. Alexander）在想像他的带角球时，思考了一个问题：有没有可能用某种奇特的变形方式，让泡泡上的相异两点永远不会相碰，但泡泡表面的空间又不是单连通的？
起先亚历山大认为，不管哪个变形泡泡的表面都一定是单连通的。[5]但後来他举出了一个表面不是单连通的例子！他的假想结构可以描述如下（这不完全是他的结构，但在拓扑学上是相同的）：取一个泡泡，挤出两个「角」，接着再从每个角挤出一对捏起的手指，且让这两对捏起的手指几乎相扣在一起。因为捏起的手指并没有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重复这个步骤，从前面各组手指挤出一对细小的捏合手指，相扣但没完全相碰。像这样继续做下去，做到极限，就会得到亚历山大角球。
环绕在其中一个初始角底部的绳圈，无法从带角球脱离，原因正是相扣手指钳的极限过程。如果指钳在某个阶段结束，没有做到极限，那麽绳圈就很容易脱落了。这种令人惊奇的结构，不仅需要靠想像力思考，还需运用想像力去验证带角球在极限时确实仍是一个球。
你可以想像把图放大，去看接连各层级的捏角的碎形本质：在细节的每个层级，景象看起来都相同。
想像力是我们的超能力
想像的自由为数学注入了梦幻般的特性。许个愿，瞧！你的梦想成真了。
如果在每个阶段我们都有机会运用想像力，数学学习的乐趣会多出多少？你不必从事高等数学，就能运用想像力。
在算术中，我们可以尝试建构出带有奇特性质的数；能被你出生年月日的所有数字整除的最小数字是多少？你能不能找出连续十个不是质数的数？
在几何学中，我们可以设计出属於自己的图案，探究它们的几何性质；你喜欢的图案里有哪些对称性？
在统计学中，我们可以考虑一个资料集，想出有创造力的视觉化方法；哪些方法的特点最好？
如果你是从枯燥的教科书上学数学，那就看看能不能把问题改造一下，以提升你的想像力，这麽做就是在让你锻链想像的自由。
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