在数学中寻找想像力的自由——《生而为人的13堂数学课》

  • 作者/ 苏宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 译者/ 毕馨云

存在於数学中的第四个自由,是想像的自由。

如果探索是在寻找已经存在的东西,那麽想像就是在建构新的想法,或至少对你来说是新的想法。凡是在沙滩上堆过沙堡的孩子,都知道一桶沙子的无限潜力,同样的,康托也曾说过:「数学的本质就在於它的自由。」[3](康托在19世纪後期做出开创性的研究成果,让我们首度对无限的本质有了清楚的了解。)

他的意思是,数学不像科学,研究的主题未必和特定的实物有关,因此数学家在能够研究的题材上,不像其他科学家那样受限。数学探险家可以运用她的想像,砌出她心目中的任何一座数学城堡。

拓扑学带领我们进入想像的空间

我的拓扑学课传授了想像的实践。正如前面提到的,拓扑学在研究几何物件受到连续拉伸时会保持不变的性质。

如果我让一个物件变形,且没有引进或移走「洞」,那麽从拓扑学的角度,我并没有改变它。因此,橄榄球和篮球在拓扑学上是相同的,因为其中一个形状可以变形成另一个;另一方面,甜甜圈和橄榄球在拓扑学上就是不一样的,因为你必须在橄榄球上戳一个洞,才可以把它变成甜甜圈。

拓扑学是很有趣的主题,因为我们可以用奇奇怪怪的方式把东西切割开、黏起来或拉伸,来做出各种很妙的形状。我们常想像在这些形状里面走动,所以称它们为空间。

拓扑学爱好者非常乐在想像他们自己的怪异空间,通常是为了回答某个奇特的问题,例如「是否存在具有这种或那种病态的物件?」。(对,我们在数学上会用到病态一词,是在描述奇怪或异常的表现,就像在医学中一样。)然後会用脑袋联想出一个例子。

举例来说,有和田湖(Lakes of Wada):可在地图上绘出,且边界完全相同的三个相连区域(「湖」);位於其中一座湖的边上的任何一点,一定会在所有三座湖的边上。这个建构是以发明它们的数学家和田健雄(Takeo Wada)的名字命名的。还有夏威夷耳环(Hawaiian earring),这是个华丽的物件,上头有无限多个逐次变小的环,全相切於一个点。[4]

亚历山大角球的病态空间

病态空间(pathological space)有个相当着名的例子(至少在数学家当中很有名),就是亚历山大角球(Alexander horned sphere)。球是呈泡泡形状的曲面,正圆球表面的空间具有「单连通」(simply connected)这个性质,意思大致上就是,如果你在球的表面拿着一条绳子,把两端系在一起,做成一个圈,那麽所系成的圈不会卡在球上,永远可以从球上移走,与球分离。(甜甜圈就截然不同了,它表面的空间不是单连通的:如果把绳子的一端穿过甜甜圈中心的洞,再把两端系在一起,你就无法让绳圈脱离甜甜圈。)

1924年,J. W. 亚历山大(J. W. Alexander)在想像他的带角球时,思考了一个问题:有没有可能用某种奇特的变形方式,让泡泡上的相异两点永远不会相碰,但泡泡表面的空间又不是单连通的?

起先亚历山大认为,不管哪个变形泡泡的表面都一定是单连通的。[5]但後来他举出了一个表面不是单连通的例子!他的假想结构可以描述如下(这不完全是他的结构,但在拓扑学上是相同的):取一个泡泡,挤出两个「角」,接着再从每个角挤出一对捏起的手指,且让这两对捏起的手指几乎相扣在一起。因为捏起的手指并没有完全相碰,所以你可以在更小的尺度上重复这个步骤,从前面各组手指挤出一对细小的捏合手指,相扣但没完全相碰。像这样继续做下去,做到极限,就会得到亚历山大角球。

环绕在其中一个初始角底部的绳圈,无法从带角球脱离,原因正是相扣手指钳的极限过程。如果指钳在某个阶段结束,没有做到极限,那麽绳圈就很容易脱落了。这种令人惊奇的结构,不仅需要靠想像力思考,还需运用想像力去验证带角球在极限时确实仍是一个球。

你可以想像把图放大,去看接连各层级的捏角的碎形本质:在细节的每个层级,景象看起来都相同。

想像力是我们的超能力

想像的自由为数学注入了梦幻般的特性。许个愿,瞧!你的梦想成真了。

如果在每个阶段我们都有机会运用想像力,数学学习的乐趣会多出多少?你不必从事高等数学,就能运用想像力。

在算术中,我们可以尝试建构出带有奇特性质的数;能被你出生年月日的所有数字整除的最小数字是多少?你能不能找出连续十个不是质数的数?

在几何学中,我们可以设计出属於自己的图案,探究它们的几何性质;你喜欢的图案里有哪些对称性?

在统计学中,我们可以考虑一个资料集,想出有创造力的视觉化方法;哪些方法的特点最好?

如果你是从枯燥的教科书上学数学,那就看看能不能把问题改造一下,以提升你的想像力,这麽做就是在让你锻链想像的自由。

  • 台湾杰出女科学家系列专访,持续更新中!

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